Piensa en el largo camino de regreso.
¿Tendríamos que habernos quedado
en casa pensando en este lugar?
¿Dónde estaríamos ahora?

Elizabeth Bishop

lunes, 7 de septiembre de 2015

Jorge Volpi en En busca de Klingsor



A lo largo de más de dos milenios, las matemáticas habían evolucionado de forma descontrolada, como un árbol cuyas ramas se cruzaban, chocaban y se entretejían. Los descubrimientos de babilonios, egipcios, griegos, árabes e indios, y luego los avances logrados en el Occidente moderno, habían convertido la aritmética en una especie de monstruo de mil cabezas, cuya verdadera naturaleza nadie alcanzaba a comprender. Aunque se trataba del instrumento científico más objetivo y evolucionado de la humanidad, utilizado a diario por millones de hombres para resolver problemas prácticos, nadie sabía si, en medio de su infinita diversidad, era posible que las matemáticas contuviesen un germen en descomposición, un hongo o un virus que desacreditara sus resultados.
Los griegos fueron los primeros en advertir esta posibilidad, al descubrir las paradojas. Como constataron Zenón, y más tarde otros estudiosos de la aritmética y la geometría, la estricta aplicación de la lógica a veces producía sinsentidos o contradicciones que no podían resolverse con claridad. Muchas paradojas eran conocidas desde la antigüedad clásica, como la aporía de Aquiles y la Tortuga que negaba el movimiento o la paradoja de Epiménides, según la cual una proposición se negaba y se afirmaba a la vez. Pero fue en las postrimerías de la Edad Media cuando las irregularidades comenzaron a multiplicarse como una plaga maligna. Esta herejía, que ofuscó tanto a los pitagóricos como a los Padres de la Iglesia, ponía en evidencia que la ciencia podía equivocarse, contrariamente a lo que se pensaba hasta entonces.
Para revertir esta tendencia caótica, numerosos hombres de ciencia trataron de sistematizar las matemáticas y las leyes que las gobernaban. Uno de los primeros en realizar esta labor fue Euclides, el cual, en sus Elementos, intentó derivar todas las reglas de la geometría a partir de cinco axiomas básicos. Más tarde, filósofos y matemáticos como René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Frege y Giuseppe Peano buscaron hacer lo mismo en campos tan alejados como la estadística y el cálculo infinitesimal, con resultados poco concluyentes. Entre tanto, habían aparecido nuevas paradojas, como las introducidas por Georg Cantor en su teoría de conjuntos.
Al iniciarse el siglo XX, la situación era aún más confusa que antes. Conscientes de las aberraciones derivadas de las teorías de Cantor, los matemáticos ingleses Bertrand Russell y Albert North Withehead se unieron para tratar de reelaborar todas las matemáticas a partir de unos cuantos principios básicos, tal como había hecho Euclides dos mil años atrás, en lo que ellos denominaron «teoría de los tipos». Como resultado de este método publicaron, entre 1903 y 1910, un tratado monumental, titulado The Principies of Mathematics —o Principia Mathematica, en una clara alusión a la obra maestra de Newton—, gracias al cual deberían desaparecer las incómodas contradicciones del saber matemático anterior.
Desafortunadamente, la obra era tan vasta y compleja que, al final, nadie quedó convencido de que a partir de sus postulados podrían derivarse todas las demostraciones posibles sin caer jamás en un sinsentido. Poco después de la aparición de los Principia, David Hilbert, un matemático de la Universidad de Gotinga, leyó durante un congreso en París una ponencia que se conoció a partir de entonces como Programa de Hilbert. En él se presentaba una lista de los grandes problemas aún no resueltos por las matemáticas —la tarea para los especialistas del futuro—, entre los que se hallaba, señaladamente, la llamada «cuestión de la completitud». La pregunta era, básicamente, si el sistema descrito en los Principia Mathematica —o cualquier otro sistema axiomático— era coherente y completo, es decir, si contenía o no contradicciones y si cualquier proposición aritmética podía ser derivada a través de sus postulados. Hilbert pensaba que la respuesta sería afirmativa, como señaló a sus colegas reunidos en París: «Todo problema matemático es susceptible de solución; todos nosotros estamos convencidos de esto. Después de todo, una de las cosas que más nos atraen cuando nos dedicamos a un problema matemático es precisamente que en nuestro interior siempre oímos la llamada aquí está el problema, hay que darle una solución; ésta se puede encontrar sólo con el puro pensamiento, porque en matemáticas no existe el ignorabimus
El Programa de Hilbert era la Biblia de los matemáticos y lógicos del mundo —le explicó Von Neumann a Bacon—. Resolver uno solo de sus problemas significaba convertirse en un hombre famoso. ¿Lo imagina? Cientos de jóvenes, en todas partes del mundo, quebrándose la cabeza con tal de encajar una sola pieza en el gigantesco rompecabezas trazado por Hilbert. Quizás usted, como físico, no sea capaz de comprender la magnitud del reto… Había que probar que uno era el mejor… La carrera era, pues, no sólo contra aquellos rivales incógnitos, sino contra el tiempo. Una verdadera locura.
—Supongo que usted también trató de resolver los problemas de Hilbert, profesor —lo incitó Bacon, sabiendo de antemano la respuesta, pero dando oportunidad a que la vanidad de Von Neumann saltase sobre él como un tigre hambriento.
—Desde luego, Bacon, todos lo intentamos… De hecho, lo seguimos intentando. Durante varios meses, me obsesioné con el desafío relativo a los Principia Mathematica —Von Neumann se acarició la barbilla, oscureciendo el tono de su voz como si se dispusiese a narrar una historia de suspenso—, el mismo que retomó más tarde, con mejor suerte que yo, el profesor Gödel. Al principio, creí haber hallado el camino correcto… Mi intuición me señalaba que la meta no era tan imposible de alcanzar como había previsto… ¿Nunca ha tenido usted esa sensación que le eriza a uno la piel, como si alguien rasgase una pizarra con las uñas? Era grandioso
—¿Y qué sucedió entonces?
—De repente, me detuve en seco, como si un muro se hubiese atravesado en la carretera —Von Neumann agitaba las manos como si en realidad hubiese estado a punto de estrellarse—. Mi mente quedó en blanco, paralizada… Estaba hecho pedazos. El vacío del fracaso, usted sabe… no me quedó más remedio que meterme en la cama y dormir hasta el día siguiente. Al despertar, me di cuenta de que había sucedido algo maravilloso: en sueños, había descubierto la forma de continuar mis demostraciones. ¡Lo había soñado, Bacon, como un profeta inspirado por la voz del Creador! Me sumí, frenéticamente, en mis papeles… Ahora estaba seguro de que iba a lograrlo —sus manos parecían acariciar un trofeo imaginario—. Pero de nuevo, al llegar a un punto culminante, la inspiración me volvió a abandonar. Así, sin más… Otra vez estaba como al principio. Varado.
—¡Oh! —Bacon adivinó que en ese momento debía hacer una exclamación de entusiasmo y pedirle a Von Neumann que acelerase su relato—: ¿Y entonces?
—Esperé a la noche y, tal como lo suponía, me sumergí en otro profundo sueño…
—¿Y volvió a encontrar el hilo perdido?
—¡Exacto! Era una especie de milagro… Mi demostración seguía un trayecto riguroso y perfecto. Estaba convencido de que sería célebre al apuntar en mi currículo uno de los temas del Programa de Hilbert
—¿Y por qué no ocurrió así, profesor?
—Mi buen amigo Bacon —Von Neumann dibujó una amplia sonrisa con sus labios gruesos y resecos—, ¡fue una verdadera fortuna para las matemáticas que yo no soñara nada aquella noche!
Cuando en 1931 resolvió finalmente el problema, Gödel era un joven matemático prácticamente desconocido. Su artículo, titulado «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas similares. I», cayó como un cubo de agua que destempló para siempre el optimismo de Hilbert. En sus páginas, Gödel no sólo demostraba que en los Principia Mathematica podía existir una proposición que al mismo tiempo fuese verdadera e indemostrable —esto es, indecidible—, sino que esto ocurriría, necesariamente, con cualquier sistema axiomático, con cualquier tipo de matemáticas existente ahora o que fuese a existir en el futuro. En contra de las previsiones de todos los especialistas, las matemáticas eran, sin asomo de duda, incompletas.
Con sus sencillos razonamientos, Gödel echó por tierra la idea romántica de que las matemáticas eran capaces de representar completamente al mundo, libres de las contradicciones de la filosofía. Su éxito fue tan rotundo, que ya ni siquiera tuvo la necesidad de escribir el proyectado capítulo II de su artículo. Para él, su misión de dinamitero había concluido. Lo más sorprendente era la sencillez con la cual Gödel había logrado su objetivo. Reformulando la antigua paradoja de Epiménides —y, de hecho, el sustrato de todas las paradojas matemáticas—, había hallado un teorema que probaba sus hipótesis. Era éste:


A cada clase k w‐consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase r recursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la variante libre de r).

Cuya traducción aproximada sería: «Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles.» En términos simples, Gödel decía lo siguiente: «Esta aseveración de teoría de los números no tiene ninguna demostración en el sistema de los Principia Mathematica.» Una ampliación posible: «Esta proposición de teoría de los números no tiene ninguna demostración dentro de la teoría de los números.» Lo cual también puede enunciarse de este modo: «Esta proposición de la lógica no es demostrable con las leyes de esta misma lógica.» O incluso, extendiéndola a los vericuetos de la psicología: «Esta idea sobre mí no puede ser demostrada desde el interior de mí mismo.»
En resumen, Gödel afirmaba que en cualquier sistema —en cualquier ciencia, en cualquier lengua, en cualquier mente— existen aseveraciones que son ciertas pero que no pueden ser comprobadas. Por más que uno se esfuerce, por más perfecto que sea el sistema que uno haya creado, siempre existirán dentro de él huecos y vacíos indemostrables, argumentos paradójicos que se comportan como termitas y devoran nuestras certezas. Si la teoría de la relatividad de Einstein y la teoría cuántica de Bohr y sus seguidores se habían encargado de demostrar que la física había dejado de ser una ciencia exacta —un compendio de afirmaciones absolutas—, ahora Gödel hacía lo mismo con las matemáticas. Nadie estaba a salvo en un mundo que comenzaba a ser dominado por la incertidumbre. Gracias a Gödel, la verdad se tornó más huidiza y caprichosa que nunca.
Jorge Volpi. En busca de Klingsor. Editorial Seix Barral.

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